Vad är en böjningspunkt?
Böjningspunkten är ett viktigt begrepp i differentiell kalkyl.Vid böjningspunkten ändrar kurvan för en funktion dess konkavitet och mdash;Med andra ord förändras det från negativ till positiv krökning, eller vice versa.Denna punkt kan definieras eller visualiseras på olika sätt.I verkliga applikationer där ett system modelleras med hjälp av en kurva är det ofta kritiskt att hitta böjningspunkten för att förutse systemets beteende.
Funktioner i kalkylen kan graferas på ett plan som består av en X- och Y-axel, kallad en kartesiskplan.I en given funktion producerar X -värdet, eller värdet som är ingången till ekvationen, en utgång, representerad av y -värdet.När de är graferade bildar dessa värden en kurva.
En kurva kan vara antingen konkav uppåt eller konkav nedåt, beroende på beteendet hos funktionen över vissa värden.Ett konkavt uppåtriktat område visas på en graf som en skålliknande kurva som öppnas uppåt, medan en konkavn nedåt region öppnas nedåt.Den punkt där denna konkavitet förändras är böjningspunkten.
Det finns några olika metoder som kan vara till hjälp för att visualisera var böjningspunkten ligger på en kurva.Om man skulle placera en punkt på kurvan med en rak linje ritad genom den som bara berör kurvan mdash;en tangentlinje mdash;och kör den punkten längs kurvan, böjningspunkten skulle inträffa vid den exakta punkten där tangentlinjen korsar över kurvan.
Matematiskt är böjningspunkten punkten där det andra derivatet ändrar tecken.Det första derivatet av en funktion mäter förändringshastigheten för en funktion när dess inmatning förändras, och det andra derivatet mäter hur denna förändringshastighet kan förändras.Till exempel representeras en bils hastighet vid ett givet ögonblick av det första derivatet, men dess acceleration mdash;ökande eller minskande hastighet mdash;representeras av det andra derivatet.Om bilen påskyndas är dess andra derivat positivt, men vid den punkt där den slutar påskynda och börjar sakta, blir dess acceleration och dess andra derivat negativt.Detta är punkten med böjning. För att visualisera detta grafiskt är det viktigt att komma ihåg att konkaviteten i en funktions kurva uttrycks av dess andra derivat.Ett positivt andra derivat indikerar en konkav uppåtgående kurva, och ett negativt andra derivat indikerar en kurva som är konkav nedåt.Det är svårt att fastställa den exakta böjningspunkten på en graf, så för applikationer där det är nödvändigt att veta dess exakta värde kan böjningspunkten lösas för matematiskt. En metod för att hitta en funktions böjningspunkt är att ta sinAndra derivat, ställ in det lika med noll och lösa för x.Inte varje nollvärde i denna metod kommer att vara en böjningspunkt, så det är nödvändigt att testa värden på vardera sidan av x ' 0 för att se till att tecknet för det andra derivatet faktiskt förändras.Om det gör det är värdet vid x en böjningspunkt.