Vad är en jämn funktion?

En jämn funktion definieras som alla funktioner där uttalandet f (x) ' f (-x) gäller för alla verkliga värden på x.På motsvarande sätt är en jämn funktion alla funktioner som definieras för alla verkliga värden på x och har reflexiv symmetri om y-axeln.Uddness eller jämnhet i funktioner är främst av användning i graferingsfunktioner.

En funktion är en relation som relaterar elementen från en uppsättning siffror mdash;domänen, till elementen i en annan uppsättning mdash;räckvidden.Förhållandet definieras vanligtvis i termer av en matematisk ekvation, där om ett nummer från domänen sätts in i ekvationen, ges ett enda värde inom intervallet som svaret.Som ett exempel är för funktionen f (x) ' 3x ² + 1, när x ' 2 är det värde som valts från domänen, f (x) ' f (2) ' 13. Om domänen och intervallet ärBåda från uppsättningen av verkliga siffror, sedan kan funktionen graferas genom att plotta varje punkt (x, f (x)), där x-koordinaten är från funktionens domän och y-koordinaten är matchningsvärdet frånFunktionens intervall.

Relaterat till begreppet jämn funktion är den udda funktionen.En udda funktion är en där uttalandet f (x) ' -f (-x) för alla verkliga värden på x.När de graferas har udda funktioner rotationssymmetri runt ursprunget.

Även om majoriteten av funktioner varken är udda eller ens finns det fortfarande ett oändligt antal jämna funktioner.Den konstanta funktionen, f (x) ' c, där funktionen endast har ett värde oavsett vilket värde från domänen är vald, är en jämn funktion.Kraftfunktionerna, f (x) ' ^x n, är till och med så länge n är något jämnt heltal.Bland de trigonometriska funktionerna är kosinus och sekant båda till och med funktioner, liksom motsvarande hyperboliska funktioner f (x) ' cosh (x) ' ( ^e x + ^e -x)/2 och f (x) ' sefh(x) ' 2/ ( ^E x + ^E -x).

Nya jämna funktioner kan skapas från andra funktioner som är kända för att vara jämna funktioner.Att lägga till eller multiplicera två jämna funktioner skapar en ny jämn funktion.Om en jämn funktion multipliceras med en konstant kommer den resulterande funktionen att vara jämn.Även funktioner kan också skapas från udda funktioner.Om två funktioner som är kända för att vara udda, såsom f (x) ' x och g (x) ' sin (x), multipliceras den resulterande funktionen, såsom h (x) ' x sin (x).

Nya jämna funktioner kan också skapas genom komposition.En kompositionsfunktion, såsom H (x) ' g (f (x)), är en där utgången från en funktion mdash;I detta fall f (x) mdash;används som ingång för den andra funktionen mdash;g (x).Om den innersta funktionen är jämn kommer den resulterande funktionen också att vara till och med oavsett om den yttre funktionen är jämn, udda eller varken.Exponentiell funktion g (x) ' ^E x, till exempel, är varken udda eller ens, men eftersom kosinus är en jämn funktion, så är den nya funktionen h (x) ' ^e cos (x).

Ett matematiskt resultat anser att varje funktion som definieras för alla verkliga siffror kan uttryckas som summan av en jämn och en udda funktion.Om f (x) är någon funktion definierad för alla verkliga siffror är det möjligt att konstruera två nya funktioner, g (x) ' (f (x) + f (-x))/2 och h (x) ' (f(x)-f (-x))/2.Det följer att g (-x) ' (f (-x) + f (x))/2 ' (f (x) + f (-x))/2 ' g (x) och därför är g (x)en jämn funktion.Likaså h (-x) ' (f (-x) -f (x))/2 '-(f (x) -f (-x))/2 ' -h (x) så h (x) ärper definition en udda funktion.Om funktionerna läggs samman, g (x) + h (x) ' (f (x) + f (-x))/2 + (f (x) -f (-x))/2 ' 2 f (x) / 2 ' f (x).Därför är varje funktion f (x) summan av en jämn och en udda funktion.