Vad är en avgörande faktor?

Matriser är matematiska föremål som förvandlar former.Determinanten för en fyrkantig matris A, betecknad | A |, är ett nummer som sammanfattar effekten A har på en figurs storlek och orientering.Om [ a b ] är den övre radvektorn för a och [ c d ] är dess nedre radvektor, då | a |' AD-BC .

En determinant kodar användbar information om hur en matris förvandlar regioner.Det detaluta värdet på determinanten indikerar matrisens skalfaktor, hur mycket den sträcker sig eller krymper en figur.Dess tecken beskriver om matrisen vänder sig över och ger en spegelbild.Matriser kan också skeva regioner och rotera dem, men denna information tillhandahålls inte av determinanten.

Aritmetiskt bestäms den transformerande verkan av en matris genom matrismultiplikation.Om A är en 2 tider;2 Matris med den övre raden [ A B ] och nedre raden [ C D ], sedan [1 0] * A ' [ A B ] och [0 1] * A ' [ C D ].Detta innebär att A tar punkten (1,0) till punkten ( A, B ) och punkten (0,1) till punkten ( C, D ).Alla matriser lämnar ursprunget omöjligt, så man ser att A förvandlar triangeln med slutpunkter på (0,0), (0,1) och (1,0) till en annan triangel med slutpunkter på (0,0), (a, b ) och ( c, d ).Förhållandet mellan detta nya triangelområde och den ursprungliga triangeln är lika med | ad-bc |, det absoluta värdet för | a |.

Tecknet på en matrisdeterminant beskriver om matrisen vänder en form över.Med tanke på triangeln med slutpunkter vid (0,0), (0,1) och (1,0), om en matris A håller punkten (0,1) stationär medan du tar punkten (1,0) till punkten(-1,0), sedan har det vänt triangeln över linjen x ' 0. Eftersom A har vänt figuren, | a |kommer att vara negativ.Matrisen ändrar inte storleken på en region, så | a |Måste vara -1 för att överensstämma med regeln att det absoluta värdet på | a |Beskriver hur mycket en sträcker en figur.

Matrisaritmetik följer den associativa lagen, vilket innebär att ( V *a)*b ' v *(a*b).Geometriskt betyder detta att kombinerad verkan av först transformerar en form med matris A och sedan transformerar formen med matris B motsvarar att transformera den ursprungliga formen med produkten (a*b).Man kan härleda från denna observation att | a |*| b |' | A*b |.

Ekvationen | a |* | B |' | A*b |har en viktig konsekvens när | a |' 0. I så fall kan man inte ångra sig av någon annan matris B. Detta kan härledas genom att notera att om A och B var inverser, då (A*B) varken sträcker sig eller vänder någon region, så | A*B |' 1. Sedan | a |* | B |' | A * b |, denna sista observation leder till den omöjliga ekvationen 0 * | b |' 1.

Det konverserade påståendet kan också visas: Om A är en fyrkantig matris med icke -nolldeterminant, har A en omvänd .Geometriskt är detta handlingen från alla matriser som inte plattar ut en region.Till exempel kan det kallas att klämma in ett fyrkant i ett linjesegment ångras av någon annan matris, kallad dess omvända.En sådan omvänd är matrisanalogen av en ömsesidig.