Vad expanderar logaritmer?

Många ekvationer kan förenklas genom att utöka logaritmer.Termen som expanderar logaritmer hänvisar inte till logaritmer som expanderar utan snarare till en process genom vilken ett matematiskt uttryck ersätts med en annan enligt specifika regler.Det finns tre sådana regler.Var och en av dem motsvarar en viss egenskap hos exponenter eftersom att ta en logaritm är den funktionella inversa av exponentiering: log 3 (9) ' 2 Eftersom 3 2 ' 9.

Den vanligaste regeln för att utöka logaritmer är van vidseparata produkter.Logaritmen för en produkt är summan av respektive logaritmer: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Denna ekvation härstammar från formeln a x * a y ' a x+y .Det kan utvidgas till flera faktorer: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +Log a ( z ) + log a ( w ).

Att höja ett nummer till en negativ effekt motsvarar att höja sin ömsesidiga till en positiv effekt: 5

-2 '(1/5) 2 ' 1/25.Den motsvarande egenskapen för logaritmer är att log a (1/ x ) ' -log a ( x ).När den här egenskapen kombineras med produktregeln ger den en lag för att ta logaritmen för ett förhållande: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Log a ( y ).

Den slutliga regeln för att utöka logaritmer hänför sig till logaritmen för ett antal som höjs till en kraft.Med hjälp av produktregeln finner man att log

a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*log A ( x ).På liknande sätt log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).I allmänhet log a ( x n ) ' n *log a ( x ), även om n inte är ett helt antal.

DessaRegler kan kombineras för att utöka logguttryck av mer komplex karaktär.Till exempel kan man tillämpa den andra regeln för att logga

a ( x 2 y / z ), vilket erhåller expressionsloggen a ( x 2 y) - log a (z).Då kan den första regeln tillämpas på den första termen, vilket ger logg a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Slutligen leder tillämpningen av den tredje regeln till uttrycket 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).

Att utöka logaritmer gör det möjligt att lösa många ekvationer snabbt.Till exempel kan någon öppna ett sparkonto med $ 400 US -dollar.Om kontot betalar 2 procent årlig ränta sammansatt varje månad, antalet månader som krävs innan kontot fördubblas i värde kan hittas med ekvationen 400*(1 + 0,02/12)

M ' 800. Dela med 400 utbyten (1 + 0,02/12) M ' 2. Att ta bas-10-logaritmen för båda sidor genererar ekvationsloggen 10 (1 + 0,02/12) M ' log 10 (2).

Denna ekvation kan förenklas med hjälp av kraftregeln för att

m *log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Att använda en kalkylator för att hitta logaritmerna ger m *(0,00072322) ' 0,30102.Man finner när man löser för M att det kommer att ta 417 månader för att kontot fördubblas i värde om inga ytterligare pengar deponeras.